|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Определение математических объектов и виды определений
Вопрос о понятиях, объектах и их определениях очень сложный по содержанию и может рассматриваться с разных точек зрения: ·логической, содержательной (предметной), познавательной (гносеологической) и др., и в силу этого даже в разных методических пособиях даются разные его аспекты. Мы считаем, что в качестве основы необходимо выбрать логическую структуру с учетом математических трактовок. Учитывая, что обучение возможно только в деятельности, необходимо рассматривать действия, адекватные видам определений понятий и объектов. Поэтому в содержание работы будет входить актуализация и систематизация знаний по смыслу операции «определение понятий», структуре определений (def) и их видов. Задание 1. Актуализируйте и систематизируйте знания по понятиям и их определениям, ответив на следующие вопросы: 1) Что такое понятие, объект? В чем их сходство и различие? 2) Существенные и несущественные свойства понятия. Приемы их установления. 3) Содержание и объем понятия. Связь между ними. 4) Логическое действие «определение понятий». Дефиниция. 5) Виды определений понятий и объектов, которые чаще всего встречаются в школе. 6) Структура определений понятий и объектов. 7) Основные требования к определениям понятий. Основным итогом работы будут следующие факты: Понятие — это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира, в частности и математических объектов. Для формирования математических понятий необходимо понимание математического объекта, который в понятии характеризуется благодаря применению определенных умственных действий. Когда ведется речь о математическом объекте, например о ромбе или квадратном уравнении и т.п., то имеется в виду конкретный эмпирический (реальный) объект, представленный в виде рисунка, модели или аналитической записи, и одновременно теоретический (идеальный) объект, обладающий всеми существенными свойствами. В примере с ромбом это не только нарисованный ромб, но и все объекты, которые суть геометрические фигуры с четырьмя сторонами, противоположные из которых параллельны. все стороны равны, диагонали перпендикулярны и т.п. Сформировать понятие об объекте — это значит раскрыть все существенные свойства объекта в их целостной совокупности. Деятельность ученика (субъекта) при этом направлена на изучение математического объекта, а продуктом этой деятельности будет правильное понятие. Одним из действий изучения математического объекта для получения понятия о нем является действие определение. Определить объект — это значит выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для отличия изучаемого объекта от других. Выполняется действие определения различными путями (с помощью различных мыслительных и предметных операций), и результат его выполнения фиксируется в различного вида определениях. Логическая структура действия определения математических объектов, вообще говоря, едина. Сущность действия определения математических объектов. Для понимания сущности действия определения математических объектов необходимо понимание структуры аксиоматически построенной теории. Если учебный предмет строится аксиоматически (или близко к аксиоматическому методу), то выбираются основные объекты (фигуры) и их существенные свойства или связи между ними раскрываются в системе аксиом. Так, в учебнике А. В. Погорелова ([113]) основные фигуры в планиметрии «точка» и «прямая» и отношения между ними «принадлежать» и «лежать между» раскрываются с помощью четырех аксиом. Затем на основе косвенно охарактеризованных свойств основных объектов (фигур) предмета и отношений определяются последующие объекты (фигуры) предмета. Например, луч уже можно определить через введение фигур «прямая» и «точка» и отношение «лежать по разные стороны» как эквивалентное отношение «лежать между» и общие гносеологические понятия «части» и «множество». Для конструирования определения фигуры «луч» на прямой выбирается ее часть. Часть эта состоит из таких точек, которые лежат по одну сторону от фиксированной точки на прямой, которую называют началом луча. Так как луч — часть прямой, то более широким понятием для него будет прямая; значит, прямая — родовое понятие, причем ближайшее. Видовые отличия: часть прямой; точка ограничивающая эту часть с одной стороны. Рассмотрим еще пример. Угол — это фигура, которая состоит из двух различных лучей с общей начальной точкой. Родовым ближайшим объектом будет фигура; видовые отличия: два луча и общее начало у этих лучей. Операции, раскрывающие действие определения объектов, будут следующие: выбирается ближайший родовой объект (фигура), затем на этот объект накладываются как бы ограничения, видовые характеристики (отличия). На основе видовых характеристик (отличий) вводится новый объект, но с меньшим объемом, чем родовой, так как у него больше свойств. Вот этому объекту с большим числом свойств и меньшим объемом присваивается новое название (термин). Так, из всех равенств уравнением назовем только такие равенства, в записи которых есть переменные (буквы). Из всех уравнений квадратными назовем такие, которые имеют вид Структура этого действия может быть символически выражена следующим образом:
При выделении видов определений математических объектов часто вот это общее действие — определение объектов — называют конкретным видом «определения через ближайший род и видовые отличия». Нам представляется более правомерным вести речь о специфике действий по выделению видовых отличий и в зависимости от этого различать определения и называть их определениями объектов конкретного вида. В соответствии с этим можно назвать следующие виды определений математических объектов в зависимости от специфики действий, с помощью которых выделяют родовые объекты и видовые отличия. Иначе можно еще сказать, что определения через ближайший род и видовые отличия имеют следующую конкретизацию: 1) определения объектов путем указания их характеристического свойства; 2) отрицательные определения. И отдельно следует назвать неявные определения основных (исходных) объектов (фигур) предмета через систему аксиом; 3) конструктивные и рекурсивные определения. Определение математических объектов путем описания характеристического свойства. Этот вид определений построен на логических действиях и операциях установления ближайшего рода, видовых отличий и логической природы связи между родом и видовыми отличиями. В зависимости от логической природы связи свойств в школьном курсе математики различают конъюнктивные и дизъюнктивные определения. Рассмотрим, например, определение параллелограмма. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Термин — параллелограмм. Род — четырехугольник. Видовые отличия: 1) одна пара противоположных сторон параллельна; 2) другая пара противоположных сторон параллельна. Все свойства в определении соединены союзом «и»; значит, имеем конъюнктивное определение. Другой пример — определение неправильной дроби. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной дробью. Термин — неправильная дробь. Род — дробь. Видовые отличия: 1) числитель больше знаменателя; 2) числитель равен знаменателю. Видовые отличия соединены союзом «или». Определение дизъюнктивное. Третий пример — определение возрастающей функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Род — функция. Термин — возрастающая функция на промежутке. Видовые отличия: если Его можно переформулировать следующим образом: Видовые отличия: 1) 1) Определения такого вида или приводимые к ним составляют подавляющее большинство курса. Конструктивные и рекурсивные определения. Свойства объекта в таком определении раскрываются путем показа операций его конструирования, т.е. его видовые отличия заданы в виде действий. Пример 1. Поворотом около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Термин — поворот. Род — движение. Видовые отличия: 1) каждый луч. исходящий из точки, повернуть в одном и там же направлении; 2) каждый луч повернуть на один и тот же угол. Пример 2. Линейной функцией называется функция. которую можно задать формулой вида Термин — линейная функция. Род — функция. Видовые отличия: х — независимая переменная; k и b — числа и Конструктивные действия могут задаваться различно. Так, в рекурсивных определениях указываются некоторые базисные объекты некоторого класса и правила, позволяющие получить новые объекты этого же класса. Например, определение арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Род — последовательность. Термин — арифметическая прогрессия. Видовые отличия: Действия получения последующего члена, если известен предыдущий, указаны в видовых отличиях. Отрицательные определения. Отрицательные определения не задают свойства объекта. Они выполняют как бы классификационную функцию. Если класс объектов разбит на группы (множества) и объектам одной группы, обладающим определенными свойствами, присвоен термин и есть объекты, которые принадлежат этому классу, но отмеченными свойствами (всеми или частью) не обладают. то таким объектам дается отрицательное определение. Пример. Скрещивающиеся прямые — это такие прямые, которые не принадлежат плоскости и не пересекаются. Термин — скрещивающиеся прямые. Род — прямые. Видовые отличия: 1) не принадлежат одной плоскости; 2) не пересекаются. Таким образом, логическое действие — определение объекта везде одинаково, но содержательные (математические) действия в каждом из отмеченных видов определений различны. В одних видовые отличия перечисляются как описательные характеристики (быть параллельными, быть больше и т.п.); в других указываются действия, которые надо произвести, чтобы получить (сконструировать) объект; в третьих перечисляются свойства, которые отрицаются. Таким образом, главное в типологии школьных определении по видам — это понимание специфики действий, раскрывающих (характеризующих) видовые отличия. 3адание 2. На основе актуализированных знаний об определениях математических объектов и их видов выберите из различных школьных учебников: математики, алгебры и геометрии — по 2-3 определения объектов названных выше видов и результаты оформите в таблицу (табл. 2). Таблица 2 (кодопозитив)
II. Основная учебная задача при обучении определениям математических объектов Основной учебной задачей при обучении определениям математических объектов будет формирование логического действия по раскрытию структуры определения математических объектов и действий, адекватных конкретному виду определений. действия, с помощью которых будет решаться эта основная учебная задача, следующие: - логический анализ структуры определений разного вида (выделение логической и содержательной функций каждого слова в определении объекта, отыскание лишних слов в определениях и др.); - подведение конкретного математического объекта под определение; - приведение конкретного примера, объекта, иллюстрирующего принадлежность его данному определению; - замена определения объекта эквивалентным определением этого объекта. Иногда это действие называют переформулировкой определения. Сравнение различных определений одного и того же объекта; - получение следствий из факта, что объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением; - нахождение логических и содержательных ошибок в приведенных определениях. 3адание 3. Выберите по одному определению из таблицы 2 и выполните логический анализ этих определений, т. е. выделите род, термин и видовые отличия. Охарактеризуйте видовые отличия в каждом из выбранных вами определении. Осмыслите каждое слово в следующих определениях на основе требований к определениям (см. [93], с. 43): 1. «Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника». 2. «Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым». 3. «Ордината точки 4. «Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами». 3адание 4. действие подведения под определение объекта состоит из следующих операций: 1) вычленение всех свойств, зафиксированных в определении; 2) установление логической связи между родом и видовыми отличиями; 3) проверка наличия у примера, подводимого под определение объекта, отмеченных свойств и их связей; 4) получение вывода — объект принадлежит к классу объектов, зафиксированных в определении, или нет. Пример 1. Определение равнобедренного треугольника. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Свойства равнобедренного треугольника: 1) он треугольник; 2) две стороны его равны. Свойства соединены конъюнктивно. Действие подведения под понятие можно оформить в таблицу 3. Таблица 3 (кодопозитив)
При соединении видовых отличий конъюнктивно для принадлежности конкретного объекта к классу определенных объектов необходимо соблюдение (наличие у примера) всех свойств одновременно. Пример 2. Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной. Свойства неправильной дроби: дробь, числитель больше знаменателя или числитель равен знаменателю. Видовые свойства соединены дизъюнктивно (табл. 4). Для принадлежности конкретного объекта к классу, заданному в определении, когда видовые отличия соединены дизъюнктивно, необходимо соблюдение (наличие) родового свойства и хотя бы одного из видовых отличий. Выполните действия подведения под определение объекта для следующих определений: «линейная функция», «симметричные точки», «скрещивающиеся прямые», «убывающая функция», «геометрическая прогрессия». Результаты действий занесите в таблицу 4. Таблица 4 (кодопозитив)
3адание 5. Установите эквивалентность следующих определений объектов: 1. а) Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. б) Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если в каждой из них через любую точку проходит прямая, перпендикулярная другой плоскости. 2. а) Угол в б) Прямым углом называют половину развернутого угла. в) Угол называют прямым, если его градусная мера равна 3. а) Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением. б) Равенство, содержащее переменную, называют уравнением. 4. а) Линейной функцией называется функция. которую можно задать формулой вида б) Линейной функцией называется функция вида 3 а д а н и е 6. Найдите ошибки в следующих «определениях» объектов: 1. Диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр. 2. Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, называется параллелограммом. 3. Ромбом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а две смежные равны. 3адание 7. Дан конкретный объект, например параллелограмм ABCD. Какие следствия можно вывести из факта, что данный параллелограмм принадлежит к теоретическому (абстрактному) объекту — параллелограмму? Выполнение действия получения следствий из факта принадлежности конкретного объекта теоретическому весьма плодотворно: не тогда, .когда введено только определение объекта, а когда изучены основные его свойства. Данное действие можно выполнять при заданиях следующего вида: Дан параллелограмм ABCD (рис. 1). Что из этого следует или что вы знаете об этой фигуре (какими свойствами она обладает)?
Рис. 1
Выполнение данного действия способствует систематизации свойств объекта и тем самым создает более эффективные предпосылки для использования их при поиске решения задач, в условии которых будет этот объект. Ранее выполненные задания позволяют определить основные этапы раскрытия содержания математического объекта (формирование определения):
Самостоятельная работа Задание 8. Раскройте основные этапы формирования определений следующих математических объектов: медианы треугольника, функции, арифметического квадратного корня. Замечание. Ряд математических объектов, особенно на начальных этапах обучения математике (V-VI классы), не имеет в учебниках определений в виде конкретных предложений. Обычно в таких случаях свойства объектов (модуль числа, одночлен и др.) раскрываются на конкретных примерах и затем вводится термин. Нетрудно видеть, что и в этих случаях ведется такая же работа, как показано выше, но в силу неподготовленности детей к обобщению и сложности структуры определений объектов в этапах работы над определением объекта первый и четвертый этапы не выполняются, а второй выполняется на эмпирическом уровне. В связи с высказанным замечанием необходимо особо отметить введение арифметических действий сложения и умножения. Определения этих действий в математике вводятся различно в зависимости от принятой трактовки. Но все они сложны и, конечно же, недоступны учащимся. Поэтому в учебниках чаще всего смысл этих действий показывают на конкретных математических задачах, в содержании которых требуется объединить объекты или найти результат изменения или результаты последовательных изменений. Обобщением, в частности, названных действий выступает действие сложения. для введения действия умножения употребляются другие примеры. Здесь важно отметить, что если определяется действие, то главное — показать операции, его реализующие. Вот им в учебниках и придается существенное значение. Такой подход ко всем действиям существует и в курсе алгебры, и в курсе геометрии. Литература: [93], [31], [41], [124], [52]. Лабораторная работа № 2 Тема. Логико-математический анализ математических утверждений и общие приемы работы с теоремой. Цель. Раскрыть общий прием выполнения логико-математического анализа конкретных утверждений, организовать самостоятельную работу по анализу теорем школьного курса математики и раскрыть этапы изучения теорем. Оборудование. Кодопозитивы с записью основных элементов анализа утверждений, их доказательства, схем, показывающих взаимосвязь между видами теорем, и др. (Вместо кодопозитивов можно использовать самодельные таблицы). Основное содержание Задание 1. Ответьте на вопросы:
Исходя из педагогических целей в процессе обучения считаем целесообразным принять: Предложение (утверждение), истинность которого доказывается, называется теоремой. Логико-математический анализ структуры утверждения предполагает: а) выделение разъяснительной части, условия и заключения утверждения; б) установление факта, какое дано утверждение — простое или сложное. В процессе проведения лабораторной работы выполняется логико-математический анализ следующего утверждения: Если сумма цифр числа п делится на 3, то само число п делится на 3. Выделяется условие: «Сумма цифр числа n делится на 3». Выделяется заключение: «Само число п делится на 3». Разъяснительная часть: «n — любое натуральное число». Утверждение сформулировано в импликативной форме. Отмечается, что так как в утверждении одно условие и одно заключение, то утверждение простое. Используя логические символы, утверждение можно записать так:
Результат анализа можно оформить в виде таблицы (табл. 5). Таблица 5 (кодопозитив)
Задание 2. Выполните логико-математический анализ утверждения Вертикальные углы равны, ответив на вопросы: 1) В какой форме сформулировано утверждение)? 2) Сформулируйте утверждение в импликативной форме. 3) Выделите разъяснительную часть. 4) Выделите условие и заключение утверждения. 5) Установите в зависимости от числа условий и заключений, является ли данное утверждение простым или сложным. Задание 3. Выполните логико-математический анализ теоремы 3.6 [113]. Краткая запись теоремы может быть такой:
Теорема сформулирована в импликативной форме. Разъяснительная часть: теорема рассматривается на множестве любых пар треугольников АВС и Условие: Сколько условий? (Три.) Какая связь между условиями? (Соединены союзом «и».) Заключение: Сколько заключений? (Одно.) Так как в теореме три условия, то теорема сложная. Задание 4. Заполните таблицу (см. табл. 6) логико-математического анализа теоремы 3.5 [113]. Теорема сформулирована в категорической форме. Таблица 6 (кодопозитив)
Примечание. Союз «и» в формулировке теоремы употребляется в соединительном смысле. 3адание 5. Может ли сложная теорема иметь одновременно несколько условий и несколько заключений? Из школьного учебника геометрии приведите пример такой теоремы. Задание 6. Сформулируйте утверждение, обратное данному. (Надо оставить без изменения разъяснительную часть, а условие и заключение поменять местами.) Например, для утверждения
обратным будет утверждение
Сформулируйте утверждение, обратное следующему: Вертикальные углы равны. Будет ли сформулированное утверждение теоремой? Почему? 3адание 7. Как получить утверждение, противоположное данному? (Если оставить без изменения разъяснительную часть, а условие и заключение утверждения заменить их отрицаниями, то получим утверждение, противоположное данному.) Для утверждения
противоположным будет утверждение
Сформулируйте утверждение, противоположное утверждению Вертикальные углы равны. Будет ли это утверждение теоремой? Сформулируйте утверждения, противоположные теоремам 3.5 и 3.6 [113]. Являются ли эти утверждения теоремами? 3адание 8. Какое получим утверждение: обратное противоположному или противоположное обратному, если оставить без изменения разъяснительную часть и поменять местами условие и заключение утверждения, противоположного данному? Утверждение
будет обратным противоположному или противоположным обратному? Сформулируйте для утверждения Вертикальные углы равны утверждение, обратное противоположному. Является ли сформулированное утверждение теоремой? Почему? Сформулируйте утверждения, обратные противоположным для теорем 3.5 и 3.6 [113]. Будут ли они теоремами? 3адание 9. На основании рассмотренных примеров сделайте вывод о взаимосвязи между прямым, обратным, противоположным и обратным противоположному утверждениями. Какие из них одновременно являются теоремами? Общие приемы работы с теоремой. При индуктивном введении теоремы можно условно выделить следующие этапы ее изучения: - мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания (усмотрение геометрического факта и формулировка теоремы); - - мотивация необходимости доказательства теоремы; - построение чертежа и краткая запись содержания теоремы; - поиск доказательства, доказательство и его запись; - закрепление теоремы; - применение теоремы. Для мотивировки необходимости изучения теорем можно предложить такие приемы: Прием 1. Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык. Мотивировать необходимость изучения свойства Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке можно, предложив предварительно учащимся решить дома следующие задачи: а) На плане местности четыре населенных пункта отмечены точками А, В, С, К. Выясните, пересекутся ли пути из пункта А в пункт С и из пункта К в пункт В (рис. 2, пути считаем прямолинейными). Если пересекутся, то в скольких точках? Рассмотрите различные возможные случаи расположения населенных пунктов. Могут ли эти пути пересечься в двух точках? В классе учитель выясняет полученные результаты решения задачи: во всех случаях пути движения либо имеют одну общую точку, либо не имеют ни одной. Отметив, что пути движения в данных задачах были отрезками, предлагается подумать над вопросом: изменится ли вывод, если вместо двух отрезков взять две прямые? Ответы могут быть разными. Если ответы разные, то сразу можно предложить выяснить, могут ли две прямые иметь две общие точки, и тем самым перейти к доказательству теоремы, мотив изучения которой стал очевидным. Если же ответ один, т. е. две различные прямые пересекаются в одной точке, то учитель говорит, что в этой задаче это действительно так. При решении других задач может быть по-другому: ведь мы не можем рассмотреть все конкретные жизненные ситуации и прорешать все задачи! Как быть? - Надо доказать, причем так, чтобы было истинно для любого случая. Этот прием можно использовать при изучении многих теорем. 3адание 10. Подберите или составьте задачи, с помощью которых можно мотивировать изучение теорем 1.2, 2.3, 4.4 [113]. Прием 2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач. Для мотивации изучения теоремы Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны можно использовать следующую задачу:
Картографы считают, что расстояние DM равно расстоянию АВ (в соответствующем масштабе). Правы ли картографы? - По условию задачи известно, что АС=СМ, BC=CD и, кроме того, - Надо установить, что DM =АВ. - Откуда может следовать равенство этих отрезков? - Равенство отрезков DM и АВ может следовать из равенства треугольников АСВ и DCM. - Но в равных треугольниках соответственно равны все шесть элементов (по три угла и по три стороны), а здесь мы имеем только две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равные двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Как быть? - Следует доказать, что если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Мотив изучения и необходимость доказательства теоремы показаны. Задание 11. Подберите подходящую практическую задачу для мотивации изучения теоремы. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Прием 3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем. Например, перед доказательством теоремы 3.3 [113] учащимся предлагается решить задачу: В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=BС)вершина угла В соединена с серединой К стороны АС отрезком. Докажите, что треугольники АВК и СВК равны. Достаточно ли этих данных, чтобы установить равенство названных треугольников? Так как третьего признака равенства треугольников по трем сторонам (теорема 3.6) у учащихся пока нет, то данную задачу они решить не могут. Созданная проблемная ситуация позволяет сразу мотивировать необходимость изучения сразу трех теорем 3.3, 3.5, 3.6 [113]. Задание 12. Покажите, как, осуществляя поиск решения сформулированной выше задачи, можно мотивировать изучение теорем 3.3, 3.5, 3.6. (Задание выполняется группами по 3-5 человек.) Прием 4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки. Задание 13. Подберите пример. где бы использовался этот прием мотивации изучения теорем. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 7751; Нарушение авторского права страницы
где х — переменная; a, b и с — некоторые числа, причем 
. Из всех прямоугольников квадратом назовем такие прямоугольники, у которых смежные стороны равны, и т.п.
Определение по форме записано в виде импликации.
, и 2) 
, и 3) 
. Можно оставить только два самостоятельных свойства: 
и 2) 
.
где x — независимая переменная; k и b — числа.
— дан; 
(в общем виде 
) — дан; 
.
единичной окружности, полученной при повороте точки 
на угол α радиан, называется синусом угла α ».
Пример
называется прямым углом.
.
.
.
.
и т.д.
(сумма цифр числа n делится на 3) 
(число п делится на 3).
(сумма цифр числа n делится на 3) 
.
.
.
(ВК — медиана, проведенная к основанию) 
работа над структурой теоремы; 
Картографам необходимо было нанести на карту два населенных пункта А и В (рис. 3). Измерить расстояние между пунктами оказалось невозможно, так как между ними было озеро. Картографы поступили следующим образом: они выбрали точку С, от которой можно измерить расстояние и до пункта А, и до пункта В. Измерили эти расстояния и построили на бумаге отрезки АС и СВ соответствующей длины (масштаб можно указать по своему усмотрению), а затем продолжили линии за точку С, отложили отрезки CD и СМ, равные соответственно отрезкам СВ и СА, и соединили точки D и М отрезком.
как вертикальные углы.