II. Формирование умений искать доказательство

1. Тенденция построения учебников по геометрии для средней школы в основном ориентирована сейчас на аксиоматическую теорию. Сразу ли в начале курса (как в учебнике [113]) излагаются все аксиомы школьного предмета геометрии или по мере содержательной необходимости в них (как в [44] - [47] или в учебнике [16]), но подход такой стал объективной реальностью. А коль такой подход стал определяющим, то и знакомство с аксиоматическим методом, доказательства методически оправданнее относить к школьному курсу геометрии. Поэтому формирование основных компонентов данного метода осуществляется в основном на учебном материале курса геометрии.

В обучении аксиоматическому методу, как это было отмечено выше можно выделить несколько этапов.

Первый этап направлен на формирование общих приемов поиска и проведения доказательства, которые затем будут использоваться на всех последующих этапах. Этот этап необходимо осуществлять во время изучения первых тем школьного курса геометрии. Данный этап включает в себя следующее:

- анализ текста утверждения;

- развертывание условия;

- последовательный анализ заключения и условия утверждения;

- раскрытие содержания прямого и косвенного методов доказательства.

Второй этап включает освоение специфических приемов поиска и проведения доказательства утверждений в зависимости от конкретного их содержания и собственно математических методов, используемых при доказательстве утверждений.

Третий этап включает в себя раскрытие сущности построения школьного предмета на основе аксиоматической теории.

В построении школьных курсов математики можно выделить три подхода:

- построение курса на содержательной основе, когда материал располагается в систематическом порядке. Причем система эта определяется как принятыми математическими трактовками фундаментальных понятий (число, фигура, функция и т.п.), так и развертыванием последующих определений объектов и доказательством отдельных свойств этих объектов. Система аксиом при таком построении не вводится. Для аргументации используются и ранее доказанные теоремы, и свойства, «прочитанные» на чертеже;

- построение курса основано на дедуктивном подходе, т.е. на определенной аксиоматике, которая вводится постепенно. Степень доказательности утверждений постепенно усиливается;

- построение курса на дедуктивной основе. Система аксиом вводится в начале курса. Раскрывается смысл терминов: аксиома, теорема, доказательство. Оговариваются аргументы доказательства. В начале курса доказательства строятся по возможной для этого возраста учащихся и особенностей школьного предмета строгости с целью раскрытия некоторых положений дедуктивного метода в математике.

Осмыслить третий этап понимания аксиоматического метода можно либо в завершение курса планиметрии, либо при раскрытии логического построения курса стереометрии.

Наиболее существенный и трудный первый этап обучения аксиоматическому методу в школе, поэтому отметим некоторые наиболее важные его особенности.

2. Формирование общих приемов доказательства математических утверждений.

Первый этап в начале изучения курса геометрии может быть реализован в основном на репродуктивно-алгоритмическом уровне. Этот уровень характеризуется умением узнавать ранее изученное доказательство, раскрывать его структуру и воспроизводить чаще всего по тому же рисунку, который приведен в учебнике. Ученик должен уметь воспроизвести доказательство в аналогичной ситуации.

При формировании отдельных общих приемов обучения доказательству математических утверждений необходимо раскрыть его операционный состав, способы формирования операций и критерии сформированности.

1*. Анализ текста утверждения имеет следующий операционный состав:

- прочитайте утверждение;

- выделите условие(я) и заключение(я);

- уточните заключение: назовите его, о каких фигурах идет речь, по какому свойству можно их установить, что в условии есть для того, чтобы получить заключение;

- уточните условие: перечислите фигуры, о которых идет речь, сколько их, какими свойствами они обладают, что в них есть для того, чтобы прийти к заключению;

- сделайте чертеж (если он необходим) и краткую запись;

- если после выполнения анализа доказательство найдено, запишите его.

Чтобы научить учащихся читать математические утверждения. необходимо по казать возможные конструкции утверждении.

Например:

объект свойства объектов

(объекты) (взаимосвязь между объектами)

Если дано О, то .
Так как дано О, то .
Поскольку дано О, то .
Для того чтобы было дано О, необходимо, чтобы .
Для того чтобы , достаточно, чтобы было дано О.

3адание 3. Прочитайте всеми приведенными выше способами:

- Смежные углы сумма углов равна 180°.

- Два отрицательных числа сумма чисел есть число отрицательное.

- Два числа с разными знаками произведение чисел есть число отрицательное.

Выражение имеет значение знаменатель выражения не равен нулю.

Чтобы выделить условие, ученик должен ответить на вопрос, о чем говорится в утверждении. Для выделения заключения надо ответить на вопрос, что говорится о данном объекте в утверждении. Хорошим средством для формирования умения выделять условие и заключение является составление списков свойств основных (первичных), зафиксированных в определении, и вторичных.

Например:

По мере изучения угла появляются новые свойства и список значительно расширяется:

Угол

два луча;
имеет общую начальную точку;
имеет градусную меру, большую нуля;
градусная мера равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

3адание 4. а) Выделите, о чем говорится в следующих предложениях и что говорится о выделенном объекте:

- если знаменатель выражения не равен нулю, то данное выражение имеет смысл;

- сумма смежных углов равна 180°;

- вертикальные углы равны.

б) Составьте список свойств следующих объектов: луч, отрезок треугольник.

2*. При формировании приема развертывания условия необходимо раскрыть его операционный состав, который можно представить в виде схемы

Так как большинство умозаключений в школьном курсе математики делается по правилу заключения и правилу отрицания, то на содержательном уровне возможно познакомить с ними учащихся.

а) Если А, то В

выполняется А.

Вывод: выполняется В;

б) Если А, то В

не выполняется В.

Вывод: не выполняется А.

3адание 5. а) Известно, что точки А и К лежат в разных полуплоскостях относительно данной прямой. Какие выводы можно сделать из этого условия?

б) Известно, что выполняется равенство Как расположены точки М, Р и К? Какие еще утверждения можно доказать, имея данное условие?

в) По данному чертежу сформулируйте утверждение, которое можно доказать.

3адание 6. Используя прием развертывания условия, осуществите доказательство утверждения. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из сторон треугольника, то она пересекает только одну из двух других сторон треугольника.

3*. При формировании приема последовательного анализа заключения и условия утверждения операционный состав его может быть раскрыт в схеме

Для формирования умения находить достаточные основания можно использовать, например, следующие задачи:

1) Даны две полупрямые. Что должно быть известно, чтобы можно было утверждать, что дан угол? что дан развернутый угол?

2) Что достаточно знать для того, чтобы утверждать, что данный треугольник равнобедренный?

3) Известно, что выполняются следующие равенства: АВ=МР, ВС=РК. Дополните это условие так, чтобы можно было сделать вывод, что .

4) Найдите условия, недостающие в тексте задачи, для того, чтобы можно было прийти к заключению:

а) Дано: α и β — углы.

Доказать:

б) Дано: a, b и c — прямые,

Доказать:

Хорошим средством для решения приведенных задач является составление карточек вида

Для того чтобы доказать	достаточно доказать
равенство треугольников	1) равенство двух пар соответственных сторон и равенство углов между ними; 2) равенство трех пар соответственных сторон; 3) и т.д.

Задание 7. Составьте карточку достаточных условий:

- что данный треугольник равнобедренный;

- что данные прямые параллельные.

Задание 8. Раскройте в виде схемы прием развертывания условия и заключения на примере следующей задачи: в треугольнике проведены две биссектрисы. Докажите, что если их отрезки от точки пересечения до вершин равны, то этот треугольник равнобедренный.

4*. Содержание прямого метода умозаключения раскрыто в ранее приведенных общих приемах поиска доказательства утверждений.

Раскроем операционный состав косвенного метода:

- делаем предположение (строим отрицание того, что требуется доказать);

- рассматриваем вместе условие утверждения и предположение и делаем вывод;

- ищем противоречие с известным истинным утверждением (аксиомой, ранее доказанной теоремой, условием утверждения);

- найдя противоречие, делаем вывод, что наше предположение неверно, а верно его отрицание, т.е. то, что требуется доказать.

Для формирования всех операций приема необходимо показать, что такое противоречие и как строится отрицание.

Задание 9. а) Выясните, могут ли быть одновременно истинными или ложными следующие высказывания:

2+11=13 и 2+11≠ 13.

Прямые а и b пересекаются и Прямые а и b не пересекаются.

б) Постройте отрицания следующих высказываний:

Числовое значение данного выражения равно 5.

Число 586 делится на 3.

Велосипедист не имеет права ехать на красный и желтый свет.

в) Установите, какие из предложенных утверждений в следующих парах являются отрицаниями друг друга:

x=5; х≠ 5.

Он мой друг. Он мой враг.

Он мой друг. Он друг моего врага.

остроугольный; тупоугольный.

Хорошим условием, позволяющим говорить о сформированности метода, является решение логических задач.

Второй этап формирования аксиоматического метода осуществляется на протяжении изучения всего курса математики.

Задание 10. Выберите учебный материал учебника, на котором более эффективно можно раскрыть содержание первого этапа обучения аксиоматическому методу. Дайте педагогические обоснования вашего выбора (доступность, логическая возможность достижения цели).

Задание 11. Посетите школу и в беседе с учителем (желательно опытным) выясните наиболее характерные затруднения учащихся, возникающие при изучении аксиоматического метода на всех трех этапах его формирования. В соответствии с этим предложите свои варианты формирования данного метода в школе.

Задание 12. Разработайте формы контроля сформированности этапов изучения метода, наиболее характерных приемов и их операционных составов. Предложите реальные задачи и задания к ним, по выполнению которых можно судить о сформированности отдельных приемов и их операций.

Задание 13. Разработайте различные формы записи доказательства математических утверждений с разной степенью обоснованности проводимых доказательств.

Задание 14. Разработайте итоговую лекцию по третьему этапу формирования аксиоматического метода в школе.

Итоговое задание. Напишите реферат на тему «Аксиоматический метод в школьном курсе математики и возможные методики его формирования».

Литература к написанию реферата:

[93], с. 67-82.
Современные основы школьного курса математики. Учеб. пособие для пед. ин-тов по мат. спец. / Н. Я. Виленкин, К. И. Дуничев, Л. А. Калужин. А. А. Столяр.- М.: Просвещение, 1980. - С. 226-234.
Комлева Н. К., Лященко Е. И. Об одном общем приеме поиска решения задач на доказательство // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы.- Л., 1981.

Лабораторная работа № 15

Тема. Метод уравнений и неравенств в курсе математики средней школы.

Цель. Установить связь между методом математического моделирования и методом уравнений и неравенств, выделить этапы формирования метода уравнений и неравенств в курсе математики средней школы.

Оборудование. Набор моделей изучаемых объектов, набор кодопозитивов: этапы математического моделирования; примеры учебных моделей действий, операций; примеры схем, графических интерпретаций, которые могут быть использованы на этапе составления решающей модели задачи.

Основное содержание

Метод уравнений и неравенств — метод математики, в котором наиболее выпукло и ярко отражаются характерные черты, находят четкую реализацию этапы процесса математического моделирования. Этот метод можно считать конкретизацией метода моделирования и с точки зрения тех основных действий, которые характеризуют метод моделирования и которые необходимо выполнять в процессе использования этого метода для решения конкретных практических задач.

Какие вопросы следует осветить в связи с обучением методу уравнений и неравенств? Выделим основные:

- цели изучения метода уравнений и неравенств;

- суть и содержание метода;

- возможности формирования метода в курсе математики средней школы;

- этапы формирования метода;

- задачи, стоящие перед учителем и учащимися.

1*. Так как уравнения, неравенства, их конструкции являются математическими моделями очень многих явлений (физических, химических и др.), то решение различных задач (в том числе и тех, с которыми мы сталкиваемся на практике) в конечном счете сводится к решению уравнений, неравенств, их конструкций. Поэтому цели указанного метода состоят в познании явлении, процессов действительности и в получении способа (часто наиболее рационального, особенно если учесть возможности современных ЭВМ) решения многих практических и научных задач.

Указанные цели метода уравнений и неравенств являются и целями его изучения. Но помимо их можно говорить и о других, которые имеют как образовательное, мировоззренческое, так и дидактическое значение.

Наиболее значимая среди них состоит в возможности формирования у учащихся умения математизации реальных ситуаций, а это, как указывалось выше, связано с формированием такого важного действия, как действие моделирования. Изучение метода уравнении и неравенств в определенной мере преследует цель установления межпредметных и внутрипредметных связей, а значит, формирования системности знаний. Кроме того, создаются благоприятные условия для обобщения и систематизации знаний, связанных с рядом тем курсов алгебры и геометрии (равносильность уравнений, неравенств; способы решения уравнений, неравенств, их систем; описание уравнением, неравенством, конструкцией уравнений, неравенств заданного множества точек и др.).

Задание 1. Приведите примеры, иллюстрирующие положение о том что изучение метода уравнений и неравенств способствует установлению: а) межпредметных связей (например, с курсами физики, химии, географии); б) внутрипредметных связей.

Задание 2. Продумайте возможности систематизации знании при изучении темы «Тригонометрические уравнения». По каким направлениям может осуществляться систематизация знании учащихся?

2*. Суть, основная идея метода уравнений и неравенств заключается в

установлении основных связей, зависимостей между элементами, характеризующими изучаемое явление (процесс), т.е. в построении словесной модели явления (процесса);

переводе словесной модели на язык математики: выявленные связи, зависимости между характеристиками явления записываются в виде уравнений, неравенств или их конструкций. В данном случае имеем дело с построением математической (иногда ее называют решающей) модели;

решении поставленной задачи внутри математической модели: решение уравнения, неравенства или их конструкции (аналитический, графический способы);

переводе полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (имеется в виду установление соответствия полученного результата исходному явлению, процессу).

Раскрытие сущности метода уравнений и неравенств фактически связано с выделением этапов деятельности человека, его применяющего (сравнить с этапами процесса математического моделирования).

При изучении курса математики средней школы учащиеся, как правило, не сталкиваются с необходимостью осуществления деятельности, соответствующей первому этапу (в учебниках и различного рода пособиях обычно уже представлены словесные модели исследуемых явлений). Поэтому в дальнейшем, раскрывая содержание метода уравнений и неравенств, не будем учитывать этап построения словесной модели.

Задание 3. Задайте практическую ситуацию (задачу), для решения которой требуется построить ее словесную модель. Какие величины и их значения, необходимые для получения словесной модели, потребовалось выделить?

Перечислим деятельностные компоненты метода уравнений и неравенств:

- выбор и обозначение одного или нескольких основных неизвестных;

- введение обозначений для других неизвестных с учетом:

а) связей и зависимостей, зафиксированных в словесной модели исследуемой ситуации; б) обозначений основных неизвестных;

- составление решающей модели (уравнения, неравенства или конструкции уравнений, неравенств);

- решение полученной модели;

- исследование результата (решения уравнения, неравенства и т.п.) в соответствии с условием поставленной задачи.

Деятельность, основу которой составляют указанные действия, осуществляется, как правило, с помощью интеллектуальных средств; реже используются предметные (например, схемы, графические интерпретации и т.п.).

Задание 4. Укажите те интеллектуальные средства, которые используются при выполнении действий, являющихся компонентами метода уравнений и неравенств. Охарактеризуйте особенности использования этих средств.

Задание 5. Проиллюстрируйте возможности использования предметных средств в деятельности, реализующей метод уравнений и неравенств (приведите конкретные примеры).

Задание 6. Соотнесите действия, входящие в метод уравнений и неравенств, с этапами деятельности по применению этого метода для решения задач.

Содержание гносеологических компонентов метода уравнений и неравенств определяется следующим образом:

1) Знание основных зависимостей между величинами, которые присутствуют в описании явления, процесса, выступающего в качестве объекта применения метода (например, зависимости между путем, временем, скоростью; объемом работы, временем, производительностью труда; стоимостью, ценой, количеством продукции и т.п.), и способов их математического выражения.

2) Результат исследования явления, процесса, который характеризует одну или несколько величин, находящихся в определенной зависимости; следствия из этого результата.

3) В круге задач, решаемых данным методом, выделим типы по признаку «тип решающей модели»: задачи на составление уравнений, задачи на составление неравенств, задачи на составление систем уравнений, задачи на составление систем неравенств, задачи на составление систем уравнения (уравнений) и неравенства (неравенств). Каждый из указанных типов может быть разделен на виды в соответствии, например, с видом решающей модели (задачи на составление линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений и т.д.).

Среди всех видов задач особо отметим задачи на оптимизацию, а среди них — задачи на нахождение: а) наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке и имеющей на этом отрезке конечное число критических точек; б) наибольшего или наименьшего значения линейной функции в некоторой области, заданной системой линейных неравенств и линейных уравнений (задача линейного программирования). Указанные задачи относятся к типу «Задачи на составление системы уравнений и неравенств», первая из них рассматривается в курсе алгебры и начал анализа X-XI классов.

Решение каждой из этих задач связано с получением уравнения, задающего некоторую функцию (на отрезке в первом случае и на подмножестве точек координатной плоскости во втором).

4) Особенности использования метода в зависимости от сферы его приложения связаны с необходимостью рационального выбора вида решающей модели предложенной -задачи и проявляются в действиях по применению метода уравнений и неравенств.

Это и рациональный выбор неизвестного, и особенности построения решающей модели (например, получение уравнения, задающего некоторую функцию, и использование производной для нахождения ее критических точек), и особенности решения отдельных видов уравнений, неравенств, конструкций уравнений и неравенств, в частности применение аналитического и графического способов решения, и особенности интерпретации полученного результата в соответствии, с одной стороны, с видом решающей модели, а с другой — с условием конкретной задачи.

Наиболее ярко особенности использования метода уравнений и неравенств проявляются в процессе решения задач геометрического, физического и т.п. содержания, так как выбор вида решающей модели бывает связан с предварительным установлением и использованием «чисто» геометрических, физических и т.п. свойств рассматриваемых объектов, явлений.

Задание 7. В чем достоинства и недостатки деления задач, решаемых методом уравнений и неравенств, на типы по признаку «тип решающей модели»?

Можно ли предложить другую типологию? В чем ее достоинства, недостатки?

Задание 8. Приведите пример конкретной задачи линейного программирования. Выделите этапы ее решения, укажите действия, которые должен выполнить ученик на каждом этапе. Отметьте те особенности, которые характеризуют рассматриваемый вид задач и данную задачу в частности.

При выполнении задания можно обратиться к следующим публикациям:

Малкова Т.В., Монахов В.М. Математическое моделирование — необходимый компонент современной подготовки школьников // Математика в шк.- 1984.- № 3.- С. 46-49.

Рейтман М.И. Транспортная задача // Квант.- 1974.-№ 7.- С. 13-20.

Задание 9. Подберите задачу, которая допускала бы построение различных решающих моделей в зависимости от выбора неизвестного.

Какую модель и почему целесообразно (или возможно) рассматривать на определенном этапе (этап специально оговорить) изучения школьниками курса математики средней школы? Каким образом может быть обоснован учащимся выбор этой модели?

3*. Чтобы установить возможности для формирования метода уравнений и неравенств в курсе математики средней школы, нужно установить, во-первых, те знания и умения, которые являются базовыми по отношению к деятельностными гносеологическим компонентам метода; во-вторых, место и содержание, материала, связанного с методом, в учебниках математики; в-третьих, возможности этого материала с точки зрения формирования отдельных компонентов метода.

Для успешного применения метода уравнений и неравенств учащимся необходимы следующие знания и умения:

- знания об уравнениях, неравенствах, их конструкциях: понятия (уравнения, неравенства и т.д.; корня, решения уравнения, неравенства, системы уравнений, неравенств; равносильности уравнений, неравенств и т.д.; графика уравнения, неравенства); свойства числовых равенств, неравенств; виды уравнений, неравенств; способы решения уравнений, неравенств, их конструкций (аналитический, графический);

- знания зависимостей между основными величинами, свойств геометрических и других объектов, изучаемых в курсе математики средней школы, способов математического выражения этих зависимостей, свойств;

- умения, связанные с решением отдельных видов уравнений, неравенств, их конструкций: получение уравнения, неравенства и т.д., равносильных исходному, с помощью основных теорем равносильности уравнений, неравенств на базе использования свойств функций и т.п.; выбор рационального для каждого конкретного случая способа решения (в том числе аналитического или графического); построение множества точек по его аналитическому заданию; описание уравнением, неравенством и т.п. заданного множества и др.;

- умение осуществлять перевод задачи с языка словесной модели на язык математической модели (т.е. составлять уравнение, неравенство и т.п. В соответствии с указанными в условии задачи свойствами, зависимостями величин);

- умение интерпретировать результат решения математической модели в соответствии с условием предложенной задачи и др.

3адание 10. Познакомьтесь с материалом, связанным с методом уравнений, в следующих школьных учебниках математики: [2З], [24], [З9], [40]. С какими понятиями знакомятся учащиеся, вводятся ли определения этих понятий? Какого вида уравнения решаются в V классе, в VI классе? Какие способы при этом используют учащиеся? Предлагаются ли задачи, решение которых связано с составлением уравнения? Можно ли утверждать, что в этих классах проводится целенаправленная, систематическая работа по формированию метода уравнений?

3адание 11. Ориентируясь на учебники алгебры для VII класса [3], [7], [107], установите, какие виды уравнений, неравенств, их конструкций изучают учащиеся, каковы способы их решения (особое внимание обратите на связь вопросов, связанных с темами «Уравнения» и «Функция»).

Можно ли утверждать, что в курсе алгебры VII класса метод уравнений становится предметом специального рассмотрения? Если да, то в чем это конкретно проявляется? Какие виды задач учащиеся решают методом уравнений (ориентируйтесь на вид решающей модели)?

3адание 12. При изучении какого вида уравнений в курсе алгебры восьмилетней школы впервые появляется необходимость обязательной реализации этапа интерпретации результата решения математической модели в соответствии с условиями поставленной задачи?

Приведите пример задачи, в процессе решения которой методом уравнений мы обязаны обратить внимание учащихся на этап интерпретации. Как методически правильно организовать деятельность учащихся на этом этапе реализации метода уравнений?

3адание 1З. В каком классе и при изучении материала какой темы учащиеся знакомятся с элементами метода неравенств, с какими именно элементами (понятия, их свойства, способы действий с ними)?

Рассматриваются ли задачи, решающей моделью которых являются неравенства, системы неравенств? Приведите примеры.

Обращается ли специальное внимание на особенности использования метода неравенств при решении практических задач?

3адание 14. Проанализируйте учебники алгебры [4], [5], [8], [9] и установите виды уравнений, неравенств, систем уравнений, неравенств, способы их решения, с которыми знакомятся учащиеся.

Какие предлагаются новые виды задач, входящие в компоненты метода уравнений и неравенств? Обращается ли в процессе работы с ними специальное внимание на особенности применения метода уравнений и неравенств?

3адание 15. Имея в виду выполненный анализ материала школьных учебников, сопоставив результаты этого анализа с компонентами метода уравнений и неравенств, а также с теми знаниями и умениями, которые лежат в основе его использования, ответьте на вопросы:

1) Имеются ли в школьном курсе математики возможности для формирования не только отдельных компонентов, но и метода в целом?

2) Реализованы ли эти возможности, формируется ли метод уравнений и неравенств (в принятой нами трактовке) у выпускников средней школы?

4*. Реализация возможностей усвоения школьниками метода уравнений и неравенств связана с решением двух задач. Первая состоит в том, чтобы добиться понимания учащимися сути метода и овладения действиями по его применению (деятельностные компоненты). Вторая задача заключается в обучении применению метода для решения различных видов задач (в процессе ее решения происходит и дальнейшее усвоение деятельностных компонентов, и раскрытие объективной стороны, гносеологической основы метода).

Обе эти задачи должны стать целью деятельности не только учителя, но и учащихся. Их решение предполагает обязательное выделение в процессе формирования метода уравнений и неравенств следующих этапов:

I. Этап принятия учащимися поставленной учебной задачи. Основная цель этого этапа состоит в том, чтобы показать учащимся значение метода уравнений и неравенств и «выйти» на понимание школьниками цели последующей деятельности — усвоение специального метода решения многих задач (в том числе и задач практического содержания).

Основным средством, которое учитель использует на этом этапе, могут быть задачи, причем такие, в процессе решения которых наиболее ярко будет проявляться целесообразность использования именно рассматриваемого метода.

II. Этап усвоения школьниками сути метода. На этом этапе учащиеся под руководством учителя выделяют действия, определяющие операционный состав метода уравнений и неравенств; устанавливают их последовательность; отмечают, что нужно знать и уметь для того, чтобы применять метод.

III. Этап формирования компонентов метода уравнений и неравенств. Используя в качестве основного средства задачи, на этом этапе учитель должен обратить внимание в первую очередь на формирование у учащихся таких действий, как выбор и обозначение одного или нескольких основных неизвестных, введение обозначений для других неизвестных и интерпретация результата в соответствии с условием поставленной задачи.

В действии «составление решающей модели» следует выделить операцию, связанную с выделением основного отношения данной задачи, которое и используется в конечном счете для получения уравнения (неравенства и т.п.).

Замечание. Здесь не указывается на необходимость формирования действия «решение полученной модели», так как оно специально формируется в процессе изучения определенных видов уравнений, неравенств, их систем.

IV. Этап обучения школьников применению метода для решения задач определенного вида. Этот этап основной своей целью имеет формирование у учащихся умений, связанных не с реализацией отдельных компонентов метода, а с применением метода в целом (при этом вид задачи, а значит, и вид решающей модели определен однозначно).

V. Этап обучения школьников применению метода для решения широкого круга математических задач. Основная цель этого этапа формирование у учащихся умения осуществлять рациональный выбор вида решающей модели предложенной задачи.

Выделение в процессе формирования метода уравнений и неравенств перечисленных этапов дает возможность утверждать, что формирование деятельностных компонентов метода (решение первой учебной задачи) в большей мере осуществляется на первом — четвертом этапах, а гносеологических компонентов — на четвертом — пятом этапах. Следует иметь в виду, что предложенное членение анализируемого процесса условно, так как отделить решение одной учебной задачи от другой невозможно. В противном случае не сможем говорить о формировании всех компонентов, а значит, и метода уравнений и неравенств в целом.

Задание 16. Имея в виду курс алгебры (или геометрии) VII класса, подберите две задачи практического содержания, работа над решением которых убедит учащихся в целесообразности специального изучения метода уравнений как метода решения задач (решающие модели задач: линейное уравнение с одной переменной: система двух линейных уравнений с двумя переменными).

Задание 17. Опишите методику организации учителем этапа усвоения школьниками сути метода уравнений и неравенств (на примере задачи, решающей моделью которой будет система линейных неравенств с одной переменной).

Задание 18. Составьте наборы задач, направленных на формирование у учащихся операций:

- введения обозначений для неизвестных, если основное неизвестное установлено;

- выделения основного отношения данной задачи, использующегося для получения уравнения.

Ориентируйтесь на курс математики V-VI классов.

Задание 19. Опишите методику формирования умения применять метод уравнений и неравенств при решении задач определенного вида.

Сделайте это на примере задачи: в 5 л раствора, содержащего 30% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько нужно влить второго раствора в первый, чтобы их смесь содержала не менее 60% кислоты?

3адание 20. Ориентируясь на курс математики IX класса составьте набор задач, который можно использовать с целью формирования у учащихся умений осуществлять рациональный выбор вида решающей модели предложенной задачи.

Самостоятельная работа

1. Укажите конкретные особенности, связанные с применением метода уравнений и неравенств к решению следующих задач.

Задача 1. Основания трапеции относятся как 2: 3, а средняя линия трапеции равна 5 м. Найти основания.

Задача 2. Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из основании больше другого на 4 см. Найти основания трапеции.

Задача 3. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега озера. Пассажир лодки хочет попасть в село В, находящееся на берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Какими знаниями, умениями должны владеть учащиеся, чтобы использовать метод уравнений и неравенств при решении каждой из этих задач?

2. Составьте конспект урока по теме «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение задач».

3. Составьте итоговую контрольную работу по теме «Квадратные уравнения», включив в нее задачу, для решения которой потребуется применить метод уравнений.

Предложите нормы оценки этой контрольной работы, указав конкретно, правильность выполнения каких действий учащихся и каким образом будет оцениваться.

4. Имея в виду конкретную задачу (набор задач), разработайте средства наглядности (например, набор кодопозитивов), которые целесообразно использовать в процессе обучения школьников реализации каждого из этапов процесса математического моделирования при решении задач методом уравнений и неравенств.

Литература: [2], [3], [4], [5], [8], [9], [95], [39], [40], [23], [24], [107], [108], [96], с. 91-122.

Лабораторная работа № 16

Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 12 13 14 15 16 17 Следующая