МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, УЧЕБНЫЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Так как учителю в практической деятельности приходится решать различные задачи: математические, учебные и методические, то представляется целесообразным раскрыть сущность всех трех названных выше задач и показать особенности их использования при его профессиональной подготовке.

Математические и учебные задачи. Трактовка понятия «учебная задача» будет более четко выражена, если его раскрывать в сравнении с понятием конкретно-практической (математической) задачи.

Анализ литературы по детской психологии и дидактике (А. Н. Леонтьев, Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Г. И. Щукина, Н. Ф. Талызина и др.) показывает, что осмысление понятия «учебная задача» приобретает более конкретный смысл только в концепции учебной деятельности.

Понятие учебной задачи впервые в отечественной литературе появилось в психологических работах, связанных с разработкой концепции учебной деятельности (Д. Б. Эльконин, 1962 г.). Было отмечено, что существенным результатом решения учебной задачи будут изменения, происходящие в субъекте, а не в материале, с которым имеет дело решающий учебную задачу.

В связи с развитием концепции учебной деятельности В. В. Давыдов детализирует сущность этого понятия. В частности, он пишет: «...потребность в учебной деятельности побуждает школьников к усвоению теоретических знаний, мотивы — к усвоению способов их воспроизводства посредством учебных действий, направленных на решение учебных задач (напомним, что задача - это единство цели действия и условий ее достижения).

Учебная задача, которая предлагается школьникам, требует от них: 1) анализа фактического материала с целью обнаружения в них некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными проявлениями этого материала, т.е. построения содержательной абстракции и содержательного обобщения; 2) выведения на основе абстракции обобщения частных отношении данного материала и их объединения (синтеза) в некоторый целостный объект, т.е. построения его «клеточки» и мысленного конкретного объекта; 3) овладения в этом аналитико-синтетическом процессе общим способом построения изучаемого объекта» ([59], с. 151, 152).

Следовательно, результатом решения учебной задачи является овладение «общим способом построения изучаемого объекта».

Для раскрытия смысла «общего способа построения изучаемого объекта» в конкретной деятельности учителя весьма плодотворным является использование понятий непосредственного (прямого) продукта учебной деятельности.

Под непосредственным (прямым) продуктом учебной деятельности будем понимать результат деятельности, на достижение которого в данный момент направлены главные усилия учащегося и который определяется основной, ближайшей целью деятельности. Необходимость введения названных понятий объясняется тем, что в процессе учебной деятельности учащийся одновременно решает несколько различных задач: математическую, учебную, познавательную, мыслительную. Но одни из них в конкретной ситуации ведущие, основные. Другие помогают решению основной задачи. и часто выступают в качестве средства решения основной. Естественно, между этими задачами и методами их решения существует очень сложная связь. Мы считаем, что обучение будет более действенно, если четче понимать, какая из задач на каждом конкретном этапе обучения выполняет ведущую функцию, т.е. является прямой (основной, ближайшей, непосредственной ) целью деятельности.

Таким образом, исходя из общего понятия задачи и понятия прямого продукта учебной деятельности можно высказать существенные свойства учебной и математической задач.

Для математической задачи прямым продуктом ее решения будет получение математического факта.

Под математическим фактом будем понимать числа, выражения, формулы, корни уравнения, свойства математических понятии, отношения, используемые в алгебре, геометрии, математическом анализе. Например, быть параллельными. больше или меньше (и их эквиваленты в естественном языке: быстрее, медленнее, короче, длиннее) и т.п.

Решение математической задачи выполняется на основе и с помощью познавательно-мыслительных операций (анализ, синтез, аналогия, сравнение и др.), общих учебных действий (распознавание, получение следствий, действия по актуализации и выбору знаний и др.) и их операций. Но при решении математических задач значительное место занимают специальные (математические) действия и операции (сложение, вычитание, умножение, деление, логарифмирование, приведение подобных членов, разложение на множители и т.п.), а также общие методы, свойственные науке и предмету математики (дедуктивный, координатный, векторный и др.), и конкретные методы решения определенных типов математических задач (метод подобия, метод равных треугольников, метод интервалов и т. п.).

При решении учебных задач прямым продуктом является учебный факт.

Под учебным фактом будем понимать прежде всего знание, но не любое, а на таком уровне обобщения, когда оно в значительной мере выполняет функции метода (приема) обучения или учебного познания. Например, знание определений математических понятий может выступать как математический факт, когда речь идет о конкретном определении конкретного математического объекта (биссектрисы угла, функции, коэффициента и т.п.). Когда же знание определений понятий выступает в теоретической обобщенности, т.е. в понимании смысла существенных свойств в определениях понятий и объектов, структуры определений, учебных действий, связанных с формированием определений понятий, то такие знания выступают уже в функции метода учения и познания и являются прямым продуктом решения учебной задачи.

Другой пример. Кроме определений понятий и объектов, основным компонентом теоретических знаний в школьном курсе математики являются теоремы (свойства, признаки, законы и др.). Чтобы они стали учебными фактами, необходимо их изучить на уровне теоретического обобщения. А это значит, что результатом обучения теоремам должно быть не только знание отдельных теорем, их формулировок и даже доказательств (в этом случае. они выступают как математический факт), но и знание их логической структуры (выяснение структурных общностей в разных теоремах), сущности самого процесса доказательства в математике, основных методов доказательства, применяемых в школьном курсе математики, и др. Такие обобщенные знания выполняют функцию методов обучения и учения, могут быть использованы в аналогичных и новых ситуациях и тем самым служить основой реализации требования реформы о школе ― вооружать учащихся разнообразной технологией учения с целью подготовки их к самообразованию, т.е. учить учеников учиться самостоятельно.

К учебным фактам относятся также обобщенные типы математических задач, общие и специфические, способы их решения, общие приемы поиска доказательства математических утверждении и решения математических задач и др.

Значит, главной особенностью учебных фактов будет направленность их на формирование общих умений учиться самостоятельно, т.е. на овладение умением самостоятельно раскрывать структуру новых знаний (для школьного предмета ― определений понятий и математических объектов, теорем, алгоритмов, математических методов); умением относить конкретную задачу к определенному типу или рассматривать ее как самостоятельное оригинальное явление, требующее для своего решения творческого подхода; умением обнаруживать способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его, располагать и владеть набором общих и специфических учебных действий и операций, адекватных поставленной учебной задаче, и др.

Решается учебная задача либо путем обобщения определенных видов теоретических знаний, определений, теорем, алгоритмов, методов, либо путем обобщения решения наборов конкретно-предметных, в нашем случае математических, задач. Основными общеучебными и общепознавательными действиями, используемыми при решении учебных задач, будут сравнение, обобщение, конкретизация, классификация и др. Выполняются и формируются эти действия с помощью и на основе мыслительных операции: анализа, синтеза и др. — и специфических, в нашем примере математических, действий и операций.

Если сравнивать предметные и учебные факты, то между ними есть связь. Например, определение конкретного математического понятия есть математический факт. Но определение понятий есть и учебный факт. Отличие в этих фактах в том, что предметную область интересует само предложение, заключающее в себе отличительные свойства понятия. Но как эти свойства связаны в конкретном определении понятия, тем более так ли они связаны, как и в другом определении другого понятия, какие познавательные следствия из такой аналогии связей свойств, если она есть, можно извлечь, — предметную область чаще всего не интересует, а если и интересует, то не в такой степени, как учебную. Для обучения же, т.е. для процесса получения знании в новой ситуации, а именно в этом смысле важен в конечном счете процесс обучения, ценна именно эта общность в изучаемых объектах предметной области.

Общность эта может быть различной природы: 1) содержательная общность в трактовках различных конкретных вопросов (например, единая содержательная основа в определении понятий функции и уравнения); 2) структурная общность (например, определения биссектрисы угла и параллелограмма имеют одинаковую конъюнктивную связь существенных свойств); 3) общность в структуре рассуждения при доказательстве утверждении и получении выводов (например, доказательство всех теорем существования и единственности, одинаковое по форме рассуждения); 4) общность анализа математических задач определенного типа и т.п.

Чтобы та или иная общность была используема в процессе обучения как метод учения, т.е. стала учебным фактом, средством, используемым при изучении других аналогичных по общности вопросов, она должна быть доведена до теоретического обобщения, осмыслена вне контекста одной конкретно-предметной задачи. Например, при обучении определениям понятий и объектов учащийся в конечном счете должен знать, что такое существенное свойство понятия вообще, сколько и какие из них могут быть включены в определение и в какой взаимосвязи. Учет последнего факта влияет на применение определений при классификации объектов. Владея этими знаниями как приемами учения и используя их при изучении других определений понятий, учащийся убеждается, что различных по структуре определений понятий в школе не так уж и много. Значит, и подход к их изучению при различном предметном содержании может быть одинаков по логике раскрытия их структуры по учебным действиям, по методу.

Таким образом, различие между учебной и математической задачами идет в основном по пути теоретического обобщения с точки зрения процесса учения. В каждой предметной области это может быть содержательная, логическая или процессуальная обобщенность. Оснащая ученика, во-первых, знанием этой обобщенности, а во-вторых, приемами ее использования, мы создаем ученику возможность быть более уверенным в познании новых фактов, так как он владеет в какой-то мере «инструментами» работы с этими новыми фактами.

Особенную трудность представляет вычленение учебной задачи при решении математических задач. Часто в методической литературе конкретную математическую задачу называют учебной.

Чтобы определить в связи с обучением решению математических задач, какая учебная задача будет при этом решаться, необходимо уточнить ряд понятий: «тип математической задачи», «метод решения математических задач», «сформирован или нет метод решения математических задач».

Проблема типизации математических задач прошла много этапов в своем развитии. Мы не будем здесь анализировать ее, а отметим только, как мы ее будем понимать в данной работе. В один тип предметных (математических) задач, в частном случае, например, алгебраического характера, объединяем задачи, основой решения которых будет какая-то одна математическая теория. Например, тип задач на логарифмические уравнения, на тождественные преобразования рациональных выражений, задачи на исследование квадратичной функции, сюжетные задачи на движение и др. Внутри типа может быть более детальная типизация, которая может определяться, например, приемами решения, специфическими учебными действиями, приемами поиска решения задач и т.п. Типизация геометрических задач более сложна, хотя подходы к типизации на основе теоретических знаний, в них заложенных, тоже могут быть применены.

С методами решения задач определенного типа связаны соответствующие ему действия:

1) специфические, для нас — математические. Например, действия по использованию прямого или косвенного доказательства математических утверждений, действия по применению координатного метода, действия по применению «метода интервалов» при решении неравенств и т.п. Математические действия в процессе их выполнения и в зависимости от поставленной задачи конкретизируются. В примере косвенного доказательства это, например, операция построения отрицания утверждения, операция получения следствий из системы связанных утверждений и т.п.;

2) учебно-познавательные. Например, моделирование основного отношения математической задачи, конкретизация приема для рассмотрения определенной математической задачи и др.

Итак, метод решения математических задач определенного типа есть свойственная данному типу задач взаимосвязь учебно-познавательных и математических действий.

Ответ на вопрос «Сформирован метод или нет? » будет заключаться в умении анализировать учащимися собственные действия, адекватные действиям, составляющим содержание метода. Результативным методическим приемом определения сформированности метода будет «решение» математических задач типа с недостающими данными или анализ «решения» математических задач, в которых допущена ошибка.

Для того чтобы на конкретном примере раскрыть отличие математической задачи от учебной, необходимо выяснить, можно ли на основе одной математической задачи раскрыть метод решения типа математических задач. Покажем это на примере обучения решению иррациональных неравенств.

В состав метода решения иррациональных неравенств входят следующие действия: анализ на основе синтеза условия задачи; действие конкретизации сравнения имеющихся теоретических знаний и знаний, полученных в результате выполненного анализа условия конкретной задачи; действие представления множеств решения неравенств, их систем и совокупностей на координатной прямой. Действия, свойственные только методу решения иррациональных неравенств, следующие: приемы установления области определения функций вида и определение знака их значения; «уединение» радикалов в одну часть неравенства и возведение обеих частей неравенства в соответствующую натуральную степень; использование логических условий образования системы или совокупности уравнений и неравенств; решение линейных и квадратичных уравнений, неравенств, их систем и совокупностей.

Для раскрытия наиболее существенных действий метода решения иррациональных неравенств предлагаем «хорошую» С точки зрения раскрытия метода математическую задачу.

3адача. Решить неравенство .

1. Анализ условия и требования задачи приводит к необходимости выполнения математического действия ― установления области определения функций .

Для одного и того же неравенства необходимо получить пересечение и , т. е. имеем .

Решив систему линейных неравенств, получаем первоначальную область задания неравенства .

2. После конкретизации теоретических знаний о существовании и неотрицательности функции выясняем, при каких условиях функции и существуют и неотрицательны.

После этого возводим обе части неравенства во вторую степень:

(1)

Повторив первое и второе действия для новой функции и неравенства (1), получим систему неравенств .

3. Для решения полученной системы неравенств надо решить квадратичное неравенство. В результате его решения имеем

4. После интерпретации решения системы и совокупности неравенств на координатной прямой получим ответ

Если сравнить действия, которые входят в состав метода решения иррациональных неравенств вообще, и действия, которые были применены для решения приведенной задачи, то они совпадают. Значит, раскрыть необходимые действия на «хорошей» задаче возможно. Но метод должен быть не только раскрыт, но и сформирован для определенного типа математических задач. А это значит, что в содержании деятельности, направленной на раскрытие метода должны быть знания и действия, раскрывающие тип задачи и адекватные ему действия. Все представительство типа одной задачей не может быть исчерпано. Такие действия, как конкретизация и моделирование, специфичные методу, тоже на одной задаче не могут быть раскрыты и сформированы. На одной задаче нельзя осознать метод.

Итак, для формирования метода решения определенного типа математических задач требуется набор задач. Набор может быть организован по индуктивному принципу обобщения. Например, в нашем случае он может быть следующий:

Решите неравенства:

Набор может быть построен по принципу дедуктивного обобщения.

Решите неравенства:

Найдите ошибку в «решении» неравенства:

Ответ: .

Работа с наборами математических задач в каждом из приведенных случаев различна. В первом случае тип математических задач формируется путем последовательного накопления существенных характеристик типа. Действия, адекватные методу, тоже накапливаются постепенно, и метод будет раскрыт только после решения задач всего набора. Говорить об его сформированности, наверное, с полной определенностью нельзя.

Во втором случае существенные характеристики типа могут быть раскрыты при анализе первой задачи набора. действия, составляющие метод, тоже могут быть раскрыты при поиске решения первой задачи. Последующие задачи второго набора направлены не столько на раскрытие типа, хотя это полностью не снимается, сколько на отработку метода, т. е. на установление взаимосвязей общих и специфических учебных действий метода.

Существенно важной при решении набора математических задач является установка учителя. Если при решении задач из набора обобщался тип задачи: 1) по содержанию математических знаний; 2) по действиям, необходимым для решения задач данного типа; 3) по учебным приемам отнесения конкретной задачи к типу, то в результате такой деятельности учащийся накапливал учебные факты (учебные умения). Посредством активного усвоения общих ориентиров типа математических задач и последовательности специфических и общих учебно-познавательных действий школьник учится решать не только каждую конкретную математическую задачу (получает математический факт), но и целый тип, а значит, решает учебную задачу.

Значит, учебная задача в случае решения математических задач — это такая задача, цель решения которой получить: 1) теоретическое обобщение математических задач определенного типа и 2) метод решения математических задач данного типа, который определяется взаимосвязью специфических и общих учебно-познавательных действий, т.е. обучаемые овладевают общим способом решения всех частных задач определенного типа.

Формулируются учебные задачи обычно в следующем виде: «Раскрыть характеристики типа математических задач...», «Выделить специфические учебные действия для решения типа математических задач...», «Раскрыть компоненты учебного действия «делать вывод...», «Систематизировать действия конкретизации при решении задач типа...» и т.п.

В формулировках учебных задач важны конкретные указания вида «раскрыть характеристики», «выделить действия», «систематизировать операции определенного действия» и т.п. Задача ориентирует на раскрытие конкретных учебных действий, с помощью которых будет достигнута цель задачи. В противном случае их постановка не вносит ничего нового в практику обучения, так как ничем не будет отличаться от формулировки целей обучения.

Возвращаясь к определению учебной задачи, данному в свое время Д. Б. Элькониным. убеждаемся, что действительно в результате решения такой задачи ученик приобретает умение анализировать структуры определений понятий, выполнять доказательство математических утверждений, выделять действия для решения определенных классов математических задач.

Принятая нами трактовка учебной задачи, учебного факта, учебного действия позволяет использовать учебную задачу как основу организации деятельности учащихся на уроке и в домашней работе.

Функция учебной задачи как организатора деятельности учащихся в следующем:

1. Если учебная задача сформулирована четко, то сразу же прогнозируется результат ее решения — обобщенные до уровня метода знания, которые можно будет использовать в аналогичных и новых ситуациях.

2. Для формирования обобщенных знаний до уровня метода необходима определенная организация учебного материала. Так как основным средством организации деятельности учащихся при изучении математики являются математические задачи, то существенную роль играет определение набора задач либо выбор типичной задачи.

3. Если наборы задач будут решаться без установки на обобщение, то даже в случае хорошей их систематизации они не смогут в полной мере выполнить роль средства формирования знаний, обобщенных до уровня метода. Значит, должны быть спланированы общие и специфические учебные действия, с помощью которых формируются обобщенные знания.

4. Процесс деятельности по формированию обобщенного знания будет только тогда закончен, когда учащийся способен оценить свои результаты. Причем в оценку деятельности должны входить не только полученные математические факты, но и учебные результаты, т.е. умение организовать учебный материал, умение наметить план решения математической задачи, умение проверить свои конкретно-предметные действия и др.

Таким образом, при решении учебных задач и организации деятельности учащихся для их решения необходимо соблюдать следующие требования: четко прогнозировать учебный результат, планировать учебный материал для достижения учебного результата, подбирать соответствующие учебные действия и оценивать получение не только математических, но и учебных фактов.

Организующая функция учебных задач в значительной мере зависит от той широты обобщенности, которую предполагает решение учебной задачи. Поэтому учебные задачи можно классифицировать по широте обобщенности. Например, может быть учебная задача, направленная на обучение определениям вообще. Эту учебную задачу ученик решает на протяжении всех лет обучения в школе. Естественно, она должна быть разбита на подзадач и: в зависимости от математического содержания, от их логической структуры, от того, определяется понятие или конкретный объект, и т.п. Аналогично можно решать учебные задачи по обучению теоремам, решению математических задач.

Методические задачи. Кроме математических и учебных задач, учитель математики в своей деятельности часто имеет дело с методическими задачами. Чтобы ответить на вопрос «Что такое методическая задача? », обратимся опять к понятиям «задача» и «прямой продукт деятельности».

Так как задача — это цель в определенных условиях, то целью решения методических задач будет овладение теми методическими умениями, которые были отмечены в § 1. Прямым продуктом решения методических задач будет получение методических фактов: выделение ядерного (основного) и второстепенного учебного материала; типология математических задач; учебный материал, организованный в определенную систему в соответствии с поставленной целью; отобранные средства и приемы обучения для достижения поставленной цели и др.

Как всякая задача, методическая задача решается с помощью определенных действий и операций. Первой и существенной особенностью методических действий есть их согласованность с целью деятельности в целом и конкретной методической задачей в частности. Например, может быть поставлена методическая задача: «Типизировать математические задачи по теме «Площади фигур» с целью систематизации общих приемов поиска решения геометрических задач в итоговой теме курса планиметрии».

При изучении этой же темы и в том же месте могут быть поставлены и другие методические задачи. Например: «Типизировать математические задачи по теме «Площади фигур» с целью более эффективного обучения решению задач данной темы» или «Типизировать математические задачи по теме «Площади фигур» с целью обучения приему поиска решения математических задач «методом площадей» и др.

Каждая из поставленных методических задач требует своих, адекватных ей методических и учебных действий. Для решения первой задачи необходимы чтение и анализ методической литературы и анализ учебного материала по теме «Площади фигур» по учебнику с целью составления набора общих приемов поиска решения математических задач вообще и геометрических в частности. Из полученного набора необходимо отобрать приемы наиболее приемлемые, учитывая результаты анализа темы «Площади фигур». В теме есть задачи алгоритмического характера, т.е. задачи на непосредственную подстановку данных в формулу площади той или иной фигуры; есть задачи с заданием найти площадь фигуры, формула площади которой известна, и тем самым первый шаг поиска решения задачи уже как-то определен, но в процессе дальнейшего решения необходим поиск для нахождения какого-нибудь элемента в формуле площади фигуры. Есть задачи для выбора первого шага решения, в которых необходим предварительный глубокий анализ условия и заключения задачи и сопоставления полученных данных с известными фактами из теории и известными приемами решения задач и др.

Так как тема итоговая в курсе планиметрии, то сюжеты задач заключают в себе сведения почти из всего курса. Естественно в данной теме осуществить и систематизацию приемов поиска решения задач в планиметрии. На основе выделенных приемов можно получить некоторую типологию задач. В решении данной методической задачи наблюдается определенная согласованность общих целей обучения решению математических задач (типизация математических задач и нахождение общих приемов поиска решения задач определенных типов) со спецификой обучения решению задач конкретной темы. Такого типа методические задачи следует считать наиболее продуктивными, так как они придают процессу обучения обобщенность и систематичность, а именно такой подход обеспечивает более глубокое изучение предмета и формирование необходимых качеств личности обучающегося.

Решение второй методической задачи, которую возможно поставить при изучении темы «Площади фигур», имеет более значимые результаты для процесса обучения в целом и геометрии в частности, так как ее можно решить, не анализируя литературу; с целью отбора приемов поиска решения математических задач не требуется выделения приемов, специфичных для данной темы. Решение этой методической задачи может ограничиться анализом только самой темы по учебнику. Любой результат типизации будет более эффективным, чем полное его отсутствие.

Еще более узкий результат будет при решении третьей, названной ранее методической задачи. Он может быть сведен к выделению типа математических задач, решаемых «методом площадей», т.е. задач, в условии которых нет явных сведений о площади фигуры, но решать их надо на основе использования площади одной или двух фигур, данных в условии задачи.

Как мы уже отмечали ранее (§ 1), методические и учебные умения в определенной своей части, связанной с учебной деятельностью, имеют много общего; поэтому и результаты их решения подчас бывает трудно разделить. В практической деятельности в этом и нет необходимости. Поэтому такие задачи и в теоретическом плане лучше называть учебно-методическими. Это задачи, направленные на формирование умений целеполагания, мотивации и оценки деятельности учащихся.

Однако есть задачи, продукт решения которых есть непосредственно методические факты. К таким задачам можно отнести подбор учебного материала и других средств обучения; организацию материала в определенную систему для достижения поставленной цели, для организации самостоятельной работы учащихся и др. для решения таких задач необходимы методические действия. В основе методических действий лежат учебно-познавательные действия — только теперь они выступают в более обобщенной форме и во взаимосвязи нескольких действий одновременно. Так, например, чтобы выполнить отбор средств для обучения какому-либо вопросу, необходимы действия целеполагания и мотивации обучения, отбор действий, адекватных изучаемому вопросу, знания функций различных средств обучения и их соответствие определенному содержанию и учебным действиям и т.п. И все эти действия необходимо выполнять последовательно, одно за другим, и применение каждого из них обязательно. Если не поставлены цели, не будет результативного отбора задач; если не определены действия, неясно, какие же задачи отбирать, и т.п. Таким образом, существенной характеристикой решения методических задач является комплексность разного содержания действий.

Ниже при разработке конкретных лабораторных работ и практических занятий будет дана методика постановки и решения соответствующих методических задач.

Итак, учителю в практической деятельности приходится решать различные задачи: математические, учебно-познавательные, учебно-методические, методические. Все эти задачи имеют много общих моментов в их постановке, в действиях для их решения и даже в результатах решения, но каждая из них имеет и свои специфические особенности. В практической деятельности следует в каждом конкретном случае учитывать их специфику и там, где есть необходимость, вскрывать общности. Такой подход к использованию различных по учебным функциям задач в обучении позволит учителю конкретнее видеть, какого результата в той или иной ситуации он от учащихся добивается и что в тот или иной момент деятельности следует оценивать.

Глава II

Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая